ENEM 2018 · questão 153

Questão 153 ENEM 2018: Geometria plana

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A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

Figura da questão

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos \(A\) e \(B\), conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta \(AB\): \(16\ \text{m}\).

Figura da questão

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

  1. A
    \(4\pi\).
  2. B
    \(8\pi\).
  3. C
    \(48\pi\).
  4. D
    \(64\pi\).
  5. E
    \(192\pi\).
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Gabarito: Alternativa D: \(64\pi\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: a trena tangente ao chafariz é uma corda da praça; o raio do chafariz até o ponto de tangência é perpendicular a ela e a corta ao meio.

  1. Sejam \(R\) o raio da praça e \(r\) o raio do chafariz. O ponto de tangência \(T\) é o ponto médio de \(AB\), logo \(AT = 8\ \text{m}\).
  2. No triângulo retângulo \(OTA\) (reto em \(T\)), a hipotenusa é \(OA = R\) e os catetos são \(OT = r\) e \(AT = 8\): \[ R^2 = r^2 + 8^2 \Rightarrow R^2 - r^2 = 64. \]
  3. A área do passeio é a coroa circular: \[ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = 64\pi\ \text{m}^2. \]
  4. Repare que não é preciso conhecer \(R\) nem \(r\) separadamente: só a diferença dos quadrados importa.

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: \(16\pi\) seria esquecer que a área pede \(8^2\); \(4\pi\) e \(8\pi\) vêm de confundir raio, metade da corda e área.

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