ENEM 2018 · questão 180

Questão 180 ENEM 2018: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma \(30^\circ\) com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede \(\dfrac{6}{\pi}\ \text{cm}\), e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

Figura da questão

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: desenrolada, a faixa é um retângulo cuja largura é (número de voltas) × (comprimento da circunferência da base); a altura sai da tangente de \(30^\circ\).

  1. Comprimento da circunferência da base: \[ C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12\ \text{cm}. \]
  2. Na figura, a hélice dá 6 voltas completas no cilindro. Logo a base do retângulo (faixa) mede \[ 6 \times 12 = 72\ \text{cm}. \]
  3. A diagonal forma \(30^\circ\) com a borda inferior, e a altura da faixa é a altura \(h\) do cilindro: \[ \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{h}{72} \Rightarrow h = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 24\sqrt{3}\ \text{cm}. \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(4\sqrt{3}\) considera apenas uma volta (\(12 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{3}\)); 72 é a largura da faixa, não a altura.

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