ENEM 2018 · questão 179

Questão 179 ENEM 2018: Geometria plana

Matemática › Geometria planaVestibulares

Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.

Figura da questão

Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem \(2\ \text{cm}\).

Figura da questão Figura da questão Figura da questão

O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa A.

Resolução comentada

Ideia-chave: em cada peça, o cateto de uma é a hipotenusa da seguinte; partindo da menor (catetos 2 cm), cada nova peça tem medidas multiplicadas por \(\sqrt{2}\).

  1. No triângulo retângulo isósceles de cateto \(a\), a hipotenusa mede \(a\sqrt{2}\).
  2. Seguindo a figura do canto inferior direito para dentro:
  • peça preta (menor): catetos \(2\), hipotenusa \(2\sqrt{2}\);
  • triângulo claro pequeno: catetos \(2\sqrt{2}\), hipotenusa \(4\);
  • triângulo escuro à direita: catetos \(4\), hipotenusa \(4\sqrt{2}\);
  • triângulo claro médio: catetos \(4\sqrt{2}\), hipotenusa \(8\);
  • triângulo escuro superior direito: catetos \(8\).
  1. Lado direito do quadrado: soma dos catetos verticais encostados nele: \[ 8 + 4 + 2 = 14\ \text{cm}. \]
  2. Conferência pela base: o triângulo escuro de baixo tem catetos \(4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\), logo hipotenusa \(12\); somando o cateto da peça preta: \(12 + 2 = 14\ \text{cm}\).

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: 12 é só a hipotenusa do triângulo escuro de baixo, esquecendo o cateto da peça menor; as opções com \(\sqrt{2}\) misturam catetos com hipotenusas no lado do quadrado.

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