ENEM 2019 · questão 163

Questão 163 ENEM 2019: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento.
Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros.

O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor \(X\), o segundo Figura da questão, o terceiro Figura da questão, o quarto \(X^2\) e o último \(X^3\). Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

  1. A
    O primeiro.
  2. B
    O segundo.
  3. C
    O terceiro.
  4. D
    O quarto.
  5. E
    O quinto.
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Gabarito: Alternativa C: O terceiro..

Resolução comentada

Ideia-chave: para \(0 < X < 1\), quanto menor o expoente positivo, maior a potência.

  1. Os índices são \(X\), \(\sqrt{X} = X^{1/2}\), \(X^{1/3}\), \(X^2\) e \(X^3\), com \(0 < X < 1\) (nenhum país zerou nem atingiu 1).
  2. Para base entre 0 e 1, a função \(X^p\) é decrescente em \(p\). Ordenando os expoentes: \[ \tfrac{1}{3} < \tfrac{1}{2} < 1 < 2 < 3 \]
  3. Portanto: \[ X^{1/3} > X^{1/2} > X > X^2 > X^3 \]
  4. Exemplo: \(X = 0{,}64\) dá \(X^{1/3} \approx 0{,}86\), \(\sqrt{X} = 0{,}8\), \(X^2 \approx 0{,}41\).

O maior IDH é \(X^{1/3}\), do terceiro país.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: quem pensa como para números maiores que 1 escolhe \(X^3\) (E) ou \(X^2\) (D); quem acha que a raiz quadrada "é a maior raiz" marca o segundo (B).

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