ENEM 2019 · questão 173

Questão 173 ENEM 2019: Probabilidade

Matemática › ProbabilidadeVestibulares

Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas.
Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas.

Constatou-se, ainda, que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

  1. A
    0,0500
  2. B
    0,1000
  3. C
    0,1125
  4. D
    0,3125
  5. E
    0,5000
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Gabarito: Alternativa E: 0,5000.

Resolução comentada

Ideia-chave: probabilidade condicional (teorema de Bayes): \(P(I \mid F) = \dfrac{P(I \cap F)}{P(F)}\).

  1. Inconsistentes e fraudulentas: \[ P(I \cap F) = 0{,}20 \cdot 0{,}25 = 0{,}05 \]
  2. Consistentes e fraudulentas: \[ P(\bar I \cap F) = 0{,}80 \cdot 0{,}0625 = 0{,}05 \]
  3. Probabilidade total de fraude: \[ P(F) = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}10 \]
  4. Condicional pedida: \[ P(I \mid F) = \frac{0{,}05}{0{,}10} = 0{,}5 \] Metade das fraudulentas foi detectada como inconsistente.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a alternativa A (0,05) é \(P(I \cap F)\), a interseção sem condicionar; a B (0,10) é a probabilidade total de fraude \(P(F)\); a D (0,3125) vem de somar \(0{,}25 + 0{,}0625\), misturando porcentagens de bases diferentes.

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