ENEM 2020 · questão 146

Questão 146 ENEM 2020: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:

\[|2h + b - 63{,}5| \le 1{,}5 \quad \text{e} \quad 16 \le h \le 19,\]

nas quais \(h\) é a altura do degrau (denominada espelho) e \(b\) é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo \(h = 16\). As unidades de \(h\) e \(b\) estão em centímetro.

Figura da questão

Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada \(b\) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é

  1. A
    \(30 \le b\)
  2. B
    \(30 \le b \le 31{,}5\)
  3. C
    \(30 \le b \le 33\)
  4. D
    \(31{,}5 \le b \le 33\)
  5. E
    \(b \le 33\)
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Gabarito: Alternativa C: \(30 \le b \le 33\).

Resolução comentada

Ideia-chave: substitua \(h = 16\) na inequação modular e resolva \(|u| \le a \iff -a \le u \le a\).

  1. Com \(h = 16\) (que respeita \(16 \le h \le 19\)): \[ |2 \cdot 16 + b - 63{,}5| \le 1{,}5 \;\Rightarrow\; |b - 31{,}5| \le 1{,}5 \]
  2. Abrindo o módulo: \[ -1{,}5 \le b - 31{,}5 \le 1{,}5 \]
  3. Somando \(31{,}5\) aos três membros: \[ 30 \le b \le 33 \] Esse é o intervalo mais amplo que satisfaz as regras.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a alternativa B (\(30 \le b \le 31{,}5\)) e a D (\(31{,}5 \le b \le 33\)) consideram só um dos lados do módulo; a A (\(30 \le b\)) e a E (\(b \le 33\)) ignoram uma das desigualdades, deixando o intervalo ilimitado.

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