ENEM 2020 · questão 157

Questão 157 ENEM 2020: Probabilidade

Matemática › ProbabilidadeVestibulares

Amigo secreto é uma brincadeira tradicional nas festas de fim de ano. Um grupo de amigos se reúne e cada um deles sorteia o nome da pessoa que irá presentear. No dia da troca de presentes, uma primeira pessoa presenteia seu amigo secreto. Em seguida, o presenteado revela seu amigo secreto e o presenteia. A brincadeira continua até que todos sejam presenteados, mesmo no caso em que o ciclo se fecha. Dez funcionários de uma empresa, entre eles um casal, participarão de um amigo secreto. A primeira pessoa a revelar será definida por sorteio.

Qual é a probabilidade de que a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto e a última presenteada sejam as duas pessoas do casal?

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: probabilidade de eventos sucessivos — primeiro alguém do casal é sorteado para começar, depois o último presenteado precisa ser justamente o parceiro.

  1. A primeira pessoa a revelar é sorteada entre os 10 funcionários. Ela precisa ser um dos 2 membros do casal: \[ P_1 = \frac{2}{10} = \frac15 \]
  2. Fixada essa pessoa, o último a ser presenteado é alguém entre as outras 9 pessoas, e, pela simetria do sorteio do amigo secreto, cada uma delas tem a mesma chance de ocupar essa posição. Só serve o parceiro: \[ P_2 = \frac19 \]
  3. Multiplique (os dois eventos precisam ocorrer): \[ P = \frac15 \cdot \frac19 = \frac{1}{45} \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(\tfrac15\) (A) para no primeiro passo; \(\tfrac1{90}\) (D) usa \(\tfrac1{10}\) em vez de \(\tfrac2{10}\), esquecendo que qualquer um dos dois membros do casal pode começar.

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