ENEM 2020 · questão 158

Questão 158 ENEM 2020: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

Figura da questão

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

  1. A
    4
  2. B
    14
  3. C
    17
  4. D
    35
  5. E
    48
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Gabarito: Alternativa C: 17.

Resolução comentada

Ideia-chave: caminhos mínimos em malha = permutações com repetição de "→" e "↑"; tire do total os que passam por C.

  1. Lendo a malha: de A até B são 4 passos para a direita e 3 para cima; de A até C, 2 → e 2 ↑; de C até B, 2 → e 1 ↑.
  2. Total de caminhos de A a B: \[ \frac{7!}{4!\,3!} = 35 \]
  3. Caminhos que passam por C (princípio multiplicativo): \[ \frac{4!}{2!\,2!} \cdot \frac{3!}{2!\,1!} = 6 \cdot 3 = 18 \]
  4. Caminhos que evitam C: \[ 35 - 18 = 17 \]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: 35 (D) é o total sem a restrição; 18 seria contar justamente os caminhos proibidos; 48 (E) soma as contagens em vez de subtrair.

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