ENEM 2020 · questão 163

Questão 163 ENEM 2020: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.

Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.

Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa E.

Resolução comentada

Ideia-chave: separe vogais e consoantes; a intercalação fixa as posições, e a letra T repetida obriga a dividir por \(2!\).

  1. Letras de "I AM POTTER" (sem espaços): I, A, M, P, O, T, T, E, R — 9 letras.
  2. Vogais: I, A, O, E (4). Consoantes: M, P, T, T, R (5).
  3. Para intercalar 5 consoantes e 4 vogais em 9 posições, só há um padrão: \[ C\,V\,C\,V\,C\,V\,C\,V\,C \] (começar com vogal exigiria 5 vogais).
  4. Vogais nas 4 posições: \(4!\). Consoantes nas 5 posições, com T repetido: \( \dfrac{5!}{2!} \).
  5. Total: \[ 4! \cdot \frac{5!}{2} = \frac{4!\,5!}{2} \]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: \(4!\,5!\) (B) esquece a repetição do T; \(2 \times 4!\,5!\) (C) supõe dois padrões de intercalação, o que só valeria com quantidades iguais de vogais e consoantes.

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