ENEM 2021 · questão 152

Questão 152 ENEM 2021: Equações e inequações

Matemática › Equações e inequaçõesVestibulares

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Figura da questão e estrela \(*\), definidas sobre o conjunto dos números reais por \(x\)Figura da questão\(y = x^2 + xy - y^2\) e \(x * y = xy + x\).

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada \(b\), que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação \((a\)Figura da questão\(b) * (b\)Figura da questão\(a) = 0\). Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada \(b = 1\).

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa E.

Resolução comentada

Ideia-chave: a operação estrela fatora: \(x * y = xy + x = x(y + 1)\). Então o produto é zero quando um dos fatores é zero.

  1. Com \(X = a \triangle b\) e \(Y = b \triangle a\): \(X * Y = X(Y + 1) = 0\), logo \(X = 0\) ou \(Y = -1\).
  2. Para \(b = 1\): \(X = a^2 + a - 1 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
  3. \(Y = 1 + a - a^2 = -1 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2\) ou \(a = -1\).
  4. As quatro soluções, em ordem: \(\dfrac{-1-\sqrt5}{2} < -1 < \dfrac{-1+\sqrt5}{2} \approx 0{,}62 < 2\).
  5. Soma das duas maiores: \(2 + \dfrac{-1+\sqrt5}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\).

Resposta: \(\dfrac{3+\sqrt5}{2}\) (alternativa E).

Por que não as outras: \(\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\) (D) é só uma das soluções; \(\sqrt5\), \(\sqrt3\) e \(\sqrt1\) (A, B e C) surgem de somar ou combinar as raízes de forma errada, por exemplo a diferença entre as raízes de \(a^2 + a - 1 = 0\).

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