ENEM 2022 · questão 141

Questão 141 ENEM 2022: Probabilidade

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Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.

Figura da questão

O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.

Figura da questão

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa E.

Resolução comentada

Ideia-chave: veja quais linhas da cartela estão a 1 ou 2 números de serem completadas e some os casos de vitória nas rodadas 5 e 6.

  1. Restam \(50 - 4 = 46\) números. Na cartela de Pedro:
    • 1ª linha (03, 48, 12, 27): falta só o 12.
    • 4ª coluna (27, 05, 45, 07): faltam 05 e 45.
    • Diagonal principal (03, 11, 19, 07): faltam 11 e 19.
    • As demais exigem 3 ou mais números.
  2. Vitória na 5ª rodada: sair o 12, \(\dfrac{1}{46}\).
  3. Vitória na 6ª rodada (sem vencer na 5ª):
    • 5ª rodada sai 05, 45, 11 ou 19 (4 casos): na 6ª ganha com o 12 ou o par que falta, 2 casos entre 45.
    • 5ª rodada sai um dos outros 41 números: na 6ª ganha só com o 12, 1 caso. \[\frac{4 \cdot 2 + 41 \cdot 1}{46 \cdot 45} = \frac{49}{46 \times 45}.\]
  4. Total: \[P = \frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}.\]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: D (43) esquece que o 12 também pode vir na 6ª rodada após um dos 4 números úteis; C (8) conta só a conclusão dos pares.

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