ENEM 2022 · questão 172

Questão 172 ENEM 2022: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.

As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:

• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.

O projeto que o casal deverá escolher será o

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Gabarito: Alternativa B: II..

Resolução comentada

Ideia-chave: a área a revestir é o fundo mais as quatro paredes laterais (sem tampa): \(A = c\ell + 2p(c + \ell)\), com \(p\) a profundidade, \(\ell\) a largura e \(c\) o comprimento.

  1. Todos os projetos têm 90 m³, o que equivale a 90 000 L (por exemplo, no projeto II: \(2 \cdot 5 \cdot 9 = 90\)).
  2. Área de cada projeto:
    • I: \(2 \cdot 25 + 2 \cdot 1{,}8 \cdot 27 = 50 + 97{,}2 = 147{,}2\) m²;
    • II: \(5 \cdot 9 + 2 \cdot 2 \cdot 14 = 45 + 56 = 101\) m²;
    • III: \(6 \cdot 15 + 2 \cdot 1 \cdot 21 = 90 + 42 = 132\) m²;
    • IV: \(15 \cdot 4 + 2 \cdot 1{,}5 \cdot 19 = 60 + 57 = 117\) m²;
    • V: \(3 \cdot 12 + 2 \cdot 2{,}5 \cdot 15 = 36 + 75 = 111\) m².
  3. A menor área é a do projeto II.

Por que não as outras: o projeto III tem a menor profundidade, mas um fundo enorme; o projeto I é longo e estreito e por isso tem paredes demais.

Resposta: alternativa B.

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