ENEM 2022 · questão 174

Questão 174 ENEM 2022: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.

Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?

  1. A
    800
  2. B
    1200
  3. C
    2400
  4. D
    4800
  5. E
    6400
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Gabarito: Alternativa D: 4800.

Resolução comentada

Ideia-chave: sem perda de material, o volume do cilindro é igual à soma dos volumes das esferas.

  1. Volume do cilindro (\(r = 4\) cm, \(h = 50\) cm): \[V_c = \pi r^2 h = \pi \cdot 16 \cdot 50 = 800\pi \text{ cm}^3.\]
  2. Cada esfera tem 1 cm de diâmetro, ou seja, raio \(\frac{1}{2}\) cm: \[V_e = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{6} \text{ cm}^3.\]
  3. Número de esferas: \[n = \frac{800\pi}{\frac{\pi}{6}} = 800 \cdot 6 = 4\,800.\]

Por que não as outras: quem usa o diâmetro como se fosse o raio (\(r = 1\)) encontra \(\frac{800\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 600\), valor que nem está entre as alternativas; 2 400 aparece para quem divide por \(\frac{\pi}{3}\); 6 400 vem de erros na potência do raio.

Resposta: alternativa D.

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