ENEM 2023 · questão 136

Questão 136 ENEM 2023: Geometria espacial

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Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com \(36\ \text{cm}\) de altura e diâmetro da base medindo \(18\ \text{cm}\). Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede \(6\ \text{cm}\), obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Figura da questão

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro \(6\ \text{cm}\), cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a \(0{,}6\ \text{g}\) por centímetro cúbico de volume. Utilize \(3\) como aproximação para \(\pi\).

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

  1. A
    1.198,8
  2. B
    1.296,0
  3. C
    1.360,8
  4. D
    4.665,6
  5. E
    4.860,0
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Gabarito: Alternativa B: 1.296,0.

Resolução comentada

Ideia-chave: volume da escultura = tronco de cone (cone grande − cone pequeno) − cilindro do furo; depois, massa = densidade \(\times\) volume.

  1. Cone grande: \(R = 9\) e \(H = 36\). O cone pequeno é semelhante a ele, com raio 3, ou seja, razão \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\); logo, sua altura é \(h = 12\) cm, e o tronco tem altura \(36 - 12 = 24\) cm.
  2. Volume do tronco, com \(\pi = 3\): \[V_t = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (81 \cdot 36 - 9 \cdot 12) = 2916 - 108 = 2808 \text{ cm}^3.\]
  3. Cilindro do furo (\(r = 3\), \(h = 24\)): \[V_{cil} = 3 \cdot 9 \cdot 24 = 648 \text{ cm}^3.\]
  4. Volume final: \(2808 - 648 = 2160\) cm³.
  5. Massa: \[2160 \cdot 0{,}6 = 1296 \text{ g}.\]

Por que não as outras: 4 665,6 aparece para quem esquece o fator \(\frac{1}{3}\) do volume do cone: \((8424 - 648) \cdot 0{,}6\); as demais alternativas vêm de erros na altura do tronco ou do furo.

Resposta: alternativa B.

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