FUVEST 2019 · questão 55

Questão 55 FUVEST 2019: Probabilidade

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Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

Figura da questão

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

  1. A
    \(\dfrac{1}{9}\)
  2. B
    \(\dfrac{17}{81}\)
  3. C
    \(\dfrac{1}{3}\)
  4. D
    \(\dfrac{51}{125}\)
  5. E
    \(\dfrac{125}{243}\)
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Gabarito: Alternativa B: \(\dfrac{17}{81}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: para voltar a zero, o número de passos à direita deve igualar o de passos à esquerda; conte as sequências com permutação com repetição.

  1. Há \(3^5 = 243\) sequências equiprováveis de 5 rodadas (D = direita, E = esquerda, P = parada).
  2. Voltar a 0 exige \(k\) passos D, \(k\) passos E e \(5 - 2k\) paradas, com \(k = 0, 1, 2\).
  3. Contagem: \[k = 0: \ \dfrac{5!}{5!} = 1; \qquad k = 1: \ \dfrac{5!}{1!\,1!\,3!} = 20; \qquad k = 2: \ \dfrac{5!}{2!\,2!\,1!} = 30.\]
  4. Total favorável: \(1 + 20 + 30 = 51\).
  5. Probabilidade: \[P = \dfrac{51}{243} = \dfrac{17}{81}.\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: D (\(\tfrac{51}{125}\)) acerta os casos favoráveis mas usa \(5^3\) em vez de \(3^5\) como total; C (\(\tfrac{1}{3}\)) seria a probabilidade de ficar parada em uma única rodada; A esquece os casos com \(k = 1\) e \(k = 2\) parcialmente.

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