FUVEST 2019 · questão 54

Questão 54 FUVEST 2019: Geometria plana

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Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Figura da questão

Usando as dimensões indicadas na figura (\(AB = 1\) e \(BC = 2\)), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?

  1. A
    \(\dfrac{3}{2}\pi\)
  2. B
    \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\pi\)
  3. C
    \(\dfrac{13}{6}\pi\)
  4. D
    \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\pi\)
  5. E
    \(\dfrac{8+2\sqrt{3}}{3}\pi\)
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Gabarito: Alternativa C: \(\dfrac{13}{6}\pi\).

Resolução comentada

Ideia-chave: em cada rotação, \(B\) descreve um arco de circunferência centrado no vértice de apoio; o ângulo girado é o suplemento do ângulo interno nesse vértice.

  1. Triângulo retângulo em \(A\) com \(AB = 1\) e hipotenusa \(BC = 2\): \(\operatorname{sen} \hat{C} = \dfrac{1}{2}\), logo \(\hat{C} = 30^\circ\), \(\hat{B} = 60^\circ\), \(\hat{A} = 90^\circ\).
  2. 1ª rotação (em torno de \(C\)): de \(CB\) no solo até \(CA\) no solo, gira \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ = \dfrac{5\pi}{6}\). \(B\) percorre arco de raio \(CB = 2\): \[2 \cdot \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{3}.\]
  3. 2ª rotação (em torno de \(A\)): de \(AC\) no solo até \(AB\) no solo, gira \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Raio \(AB = 1\): \[1 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}.\]
  4. 3ª rotação (em torno de \(B\)): até \(BC\) voltar ao solo; \(B\) é o centro e não se move.
  5. Total: \[\dfrac{5\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{10\pi + 3\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{6}.\]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: usar o ângulo interno (30°) em vez do suplemento leva a valores bem menores; quem inclui um arco na 3ª rotação esquece que \(B\) é o pivô.

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