Resolução comentada
Ideia-chave: escreva o lado direito como um único logaritmo na base 2 e compare os logaritmandos.
- Use as propriedades: \(\dfrac{2}{3}\log_2 x = \log_2 x^{2/3}\) e \(-\dfrac{1}{2} = \log_2 2^{-1/2}\).
- Então
\[\log_2 y = \log_2 2^{-1/2} + \log_2 x^{2/3} = \log_2\left(2^{-1/2} \cdot x^{2/3}\right).\]
- Como o logaritmo é injetor:
\[y = 2^{-1/2} \cdot x^{2/3} = \dfrac{x^{2/3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{2}}.\]
- Teste numérico: \(x = 8\) dá \(\log_2 y = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{3} \cdot 3 = \tfrac{3}{2}\), logo \(y = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}\). Pela fórmula: \(\dfrac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\). Confere.
Resposta: alternativa A.
Por que não as outras: C transforma a soma de logaritmos em soma dos números (erro clássico: o log da soma não é a soma); D troca o sinal do expoente \(-\tfrac{1}{2}\); B e E invertem a fração \(\tfrac{2}{3}\).