FUVEST 2022 · questão 34

Questão 34 FUVEST 2022: Equações e inequações

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Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi:

  1. A
    R$ 10,00
  2. B
    R$ 15,00
  3. C
    R$ 20,00
  4. D
    R$ 25,00
  5. E
    R$ 40,00
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Gabarito: Alternativa D: R$ 25,00.

Resolução comentada

Ideia-chave: a diferença entre a quota nova e a antiga é R$ 5,00. Isso gera uma equação do 2º grau no número de pessoas.

  1. Seja \(n\) o número inicial de funcionários. A quota prevista era \(\frac{200}{n}\) e a quota real é \(\frac{200}{n-2}\).
  2. Equação: \[ \frac{200}{n-2} - \frac{200}{n} = 5 \Rightarrow \frac{400}{n(n-2)} = 5 \Rightarrow n(n-2) = 80. \]
  3. Resolvendo: \[ n^2 - 2n - 80 = 0 \Rightarrow n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}. \] A raiz positiva é \(n = 10\).
  4. Ficaram \(10 - 2 = 8\) pessoas, e cada uma pagou \[ \frac{200}{8} = 25. \]
  5. Conferência: a quota prevista era R$ 20,00, e \(25 - 20 = 5\). ✓

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: a C (R$ 20,00) é a quota originalmente prevista, e não a paga; a E (R$ 40,00) usa \(n = 5\) pessoas.

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