Questão 35 FUVEST 2022: Sequências (PA e PG)

Resolução comentada

Ideia-chave: os custos de cada metro formam uma PA de razão 200. O custo total é a soma dos \(n\) primeiros termos.

1. PA: \(a_1 = 1000\), \(r = 200\), então \(a_n = 1000 + 200(n - 1) = 800 + 200n\).
2. Soma dos \(n\) termos: \[ S_n = \frac{(a_1 + a_n)\,n}{2} = \frac{(1800 + 200n)\,n}{2} = (900 + 100n)\,n. \]
3. Igualando ao custo total: \[ 100n^2 + 900n = 48\,600 \Rightarrow n^2 + 9n - 486 = 0. \]
4. Resolvendo: \[ n = \frac{-9 + \sqrt{81 + 1944}}{2} = \frac{-9 + 45}{2} = 18. \]
5. Conferência: \(a_{18} = 4400\) e \(S_{18} = \frac{(1000 + 4400)\cdot18}{2} = 48\,600\). ✓
6. O poço tem 18 m de profundidade.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: a C ou a D aparecem quando se usa \(a_n = 1000 + 200n\), esquecendo o \((n - 1)\); a A (15 m) vem de erro na soma da PA.