FUVEST 2022 · questão 36

Questão 36 FUVEST 2022: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Note e adote:

Em poliedros convexos, vale a relação de Euler \(F - A + V = 2\), em que \(F\) é o número de faces, \(A\) é o número de arestas e \(V\) é o número de vértices do poliedro.

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    12
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa E: 12.

Resolução comentada

Ideia-chave: num poliedro de faces triangulares, cada face tem 3 arestas e cada aresta é compartilhada por 2 faces, então \(3F = 2A\). Combinamos isso com a relação de Euler.

  1. Contagem de arestas: \[ 3F = 2A \Rightarrow A = \frac{3F}{2}. \]
  2. Euler com \(V = 8\): \[ F - A + V = 2 \Rightarrow F - \frac{3F}{2} + 8 = 2. \]
  3. Resolvendo: \[ -\frac{F}{2} = -6 \Rightarrow F = 12,\quad A = 18. \]
  4. Conferência: \(12 - 18 + 8 = 2\). ✓ Esse é o dodecaedro snub triangular, um deltaedro convexo de 8 vértices que existe de fato.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a C (8) confunde faces com vértices (o octaedro tem 8 faces, mas apenas 6 vértices); a B (6) corresponde à bipirâmide triangular, que tem 5 vértices.

Mais questões de Geometria espacial

Ver todas as questões de Geometria espacial