FUVEST 2022 · questão 37

Questão 37 FUVEST 2022: Geometria plana

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A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto \(O\). O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto \(A\) está sobre o contorno do quadrado, o ponto \(B\) está sobre o contorno do círculo, e o segmento \(AB\) tem tamanho 2 u.m.

Figura da questão

Quando o ângulo \(\theta = AOB\) for máximo, seu cosseno será:

  1. A
    \(\dfrac{1}{8}\)
  2. B
    \(\dfrac{1}{4}\)
  3. C
    \(\dfrac{1}{2}\)
  4. D
    \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  5. E
    \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
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Gabarito: Alternativa A: \(\dfrac{1}{8}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: o triângulo \(OAB\) é isósceles (\(OB = AB = 2\)). Pela lei dos cossenos, \(\cos\theta\) depende só de \(OA\), e o ângulo máximo corresponde ao menor cosseno.

  1. Seja \(OA = d\). Pela lei dos cossenos no triângulo \(OAB\): \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA\cdot OB\cos\theta \Rightarrow 4 = d^2 + 4 - 4d\cos\theta. \]
  2. Logo \[ \cos\theta = \frac{d}{4}. \]
  3. \(\theta\) é máximo quando \(\cos\theta\) é mínimo, ou seja, quando \(d = OA\) é mínimo.
  4. \(A\) está no contorno do quadrado de lado 1 e centro \(O\). A menor distância de \(O\) ao contorno é a distância ao ponto médio de um lado: \[ d_{\min} = \frac{1}{2}. \]
  5. Então \[ \cos\theta_{\max} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}. \]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a D (\(\frac{\sqrt2}{2}\)) e similares surgem ao usar o vértice do quadrado (\(d = \frac{\sqrt2}{2}\)), que dá o menor ângulo; a B (\(\frac14\)) usa \(d = 1\), o lado inteiro.

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