Questão 51 ITA 2022 · Vestibular 2022 · 1ª fase: Probabilidade

Convenções: \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\); \(i\) denota a unidade imaginária, \(i^2=-1\); \(M_n(\mathbb{R})\) denota o conjunto das matrizes \(n\times n\) de entradas reais; \(\overline{AB}\) denota o segmento de extremidades \(A\) e \(B\); \(m(AB)\) denota o comprimento do segmento \(AB\); \(A\hat{O}B\) denota o ângulo formado pelas semirretas \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\).

Dizemos que a representação binária de um número \(N\in\mathbb{N}\) da forma \[N=g\cdot2^0+f\cdot2^1+e\cdot2^2+d\cdot2^3+c\cdot2^4+b\cdot2^5+a\cdot2^6\] é \((abcdefg)_2\), onde \(a,b,c,d,e,f,g\in\{0,1\}\) e omitem-se os algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para a direita. Seja \(k\) um número inteiro tal que \(1\le k\le100\).