Questão 71 Unicamp 2019: Geometria espacial

Resolução comentada

Ideia-chave: a distância entre os centros de duas faces adjacentes é a hipotenusa de um triângulo com catetos iguais às metades das arestas envolvidas.

1. Ponha o paralelepípedo com arestas 6, 8 e 10 nos eixos. Os centros de três faces com dimensões distintas, compartilhando um vértice, são \[(3, 4, 10),\quad (3, 8, 5),\quad (6, 4, 5)\] (cada um tem uma coordenada "cheia" e as outras duas pela metade).
2. Os lados do triângulo: \[\sqrt{3^2 + 4^2} = 5,\qquad \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34},\qquad \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}.\]
3. Estimativas: \(5{,}8 < \sqrt{34} < 5{,}9\) e \(6{,}4 < \sqrt{41} < 6{,}5\).
4. Perímetro: \[17{,}2 < P = 5 + \sqrt{34} + \sqrt{41} < 17{,}4,\] logo \(16\ \text{cm} < P < 18\ \text{cm}\).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: usar as arestas inteiras em vez das metades dobra o perímetro (acima de 18); usar só uma metade gera valores menores, perto de 14.