Resolução comentada
Ideia-chave: use as relações de Girard com as duas raízes conhecidas (soma e produto) para achar a terceira e os coeficientes.
- Sejam \(r_1, r_2\) as raízes com \(r_1 + r_2 = -1\) e \(r_1 r_2 = -1\), e \(r_3\) a terceira.
- Soma dos produtos dois a dois (coeficiente de \(x\) vale 1):
\[r_1 r_2 + r_3(r_1 + r_2) = 1 \Rightarrow -1 - r_3 = 1 \Rightarrow r_3 = -2.\]
- Soma das raízes:
\[r_1 + r_2 + r_3 = -a \Rightarrow -1 - 2 = -a \Rightarrow a = 3.\]
- Produto das raízes:
\[r_1 r_2 r_3 = -b \Rightarrow (-1)(-2) = -b \Rightarrow b = -2.\]
- Então \(p(x) = x^3 + 3x^2 + x - 2\) e
\[p(1) = 1 + 3 + 1 - 2 = 3.\]
Resposta: alternativa D.
Por que não as outras: errar o sinal em "produto \(= -b\)" leva a \(b = 2\) e \(p(1) = 7\), fora das opções; esquecer o termo \(r_3(r_1 + r_2)\) impede de achar \(r_3\) corretamente.