Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, A = 1 a 1 b 1 a 2 b 2 Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a

Unicamp 2019 · questão 68

Questão 68 Unicamp 2019: Matrizes, determinantes e sistemas

Matemática › Matrizes, determinantes e sistemasVestibulares

Sabendo que \(a\) e \(b\) são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3,

\[A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ b & 1 & a \\ 2 & b & 2 \end{pmatrix}\]

Se a soma dos elementos em cada linha da matriz \(A\) tem sempre o mesmo valor, então o determinante de \(A\) é igual a

A
0.
B
2.
C
5.
D
10.

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Gabarito: Alternativa D: 10..

Resolução comentada

Ideia-chave: iguale as somas das linhas para achar \(a\) e \(b\) e depois calcule o determinante por Sarrus.

Somas das linhas: \(2 + a\), \(a + b + 1\) e \(b + 4\).
Igualando a primeira à segunda: \[2 + a = a + b + 1 \Rightarrow b = 1.\]
Igualando a primeira à terceira: \[2 + a = b + 4 = 5 \Rightarrow a = 3.\]
A matriz fica \[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]
Determinante: \[\det A = 1(2 - 3) - 3(2 - 6) + 1(1 - 2) = -1 + 12 - 1 = 10.\]

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: é tentador achar que "linhas de mesma soma" zeram o determinante (alternativa A), mas isso só valeria com linhas proporcionais; erros de sinal no cofator central levam a 2.

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