Questão 67 Unicamp 2019: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: trace pela extremidade do lado \(a\) uma paralela à base e obtenha um triângulo retângulo com ângulo \(\theta\).

1. Pela figura, os ângulos retos mostram que \(b\) é paralelo a \(d\) e que \(a\) e \(c\) são verticais.
2. Abaixando o lado inclinado até a base: o desnível vertical é \(c - a\) e o deslocamento horizontal é \(d - b\). Assim \[\tan\theta = \frac{c - a}{d - b}.\]
3. Como \((a, b, c, d)\) é PG de razão \(q\): \(b = aq\), \(c = aq^2\), \(d = aq^3\).
4. Substituindo: \[\tan\theta = \frac{aq^2 - a}{aq^3 - aq} = \frac{a(q^2 - 1)}{aq(q^2 - 1)} = \frac{1}{q}.\]
5. A simplificação é válida porque \(q > 1\) garante \(q^2 - 1 \ne 0\).

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: inverter cateto oposto e adjacente dá \(q\) (alternativa B); usar \(\tfrac{d - b}{c - a}\) ou esquecer de descontar \(a\) do lado \(c\) leva a expressões como \(q\) ou \(q^2\).