Unicamp 2020 · questão 34

Questão 34 Unicamp 2020: Probabilidade

Matemática › ProbabilidadeVestibulares

Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de \(\dfrac{2}{3}\), independentemente do resultado das outras provas.

Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a

  1. A
    \(\dfrac{2}{3}\).
  2. B
    \(\dfrac{4}{9}\).
  3. C
    \(\dfrac{20}{27}\).
  4. D
    \(\dfrac{16}{81}\).
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Gabarito: Alternativa C: \(\dfrac{20}{27}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: "pelo menos duas vitórias" = exatamente duas ou exatamente três; use a distribuição binomial.

  1. Em cada prova: \(P(\text{ganhar}) = \tfrac{2}{3}\) e \(P(\text{perder}) = \tfrac{1}{3}\), de forma independente.
  2. Exatamente 3 vitórias: \[\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27}.\]
  3. Exatamente 2 vitórias: a derrota pode ocorrer em qualquer uma das 3 provas, logo \[\binom{3}{2}\left(\tfrac{2}{3}\right)^2\left(\tfrac{1}{3}\right) = 3 \cdot \tfrac{4}{27} = \tfrac{12}{27}.\]
  4. Somando os casos disjuntos: \[P = \tfrac{8}{27} + \tfrac{12}{27} = \tfrac{20}{27}.\]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: esquecer o fator \(\binom{3}{2} = 3\) leva a \(\tfrac{4}{27} + \tfrac{8}{27}\), fora das opções; \(\tfrac{4}{9}\) é só a chance de ganhar duas provas específicas, sem contar a terceira.

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