Questão 33 Unicamp 2020: Análise combinatória

Resolução comentada

Ideia-chave: conte o total de filas e subtraia aquelas em que as duas pessoas ficam juntas (complementar).

1. Total de modos de alinhar 5 pessoas: \[P_5 = 5! = 120.\]
2. Filas com as duas pessoas lado a lado: trate-as como um bloco. Ficam 4 "elementos" para permutar e o bloco pode estar em 2 ordens: \[4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48.\]
3. Filas em que elas não ficam juntas: \[120 - 48 = 72.\]
4. Conferência direta: as outras 3 pessoas se arrumam de \(3! = 6\) modos, criando 4 espaços; escolhemos 2 espaços ordenados para as duas pessoas: \(4 \cdot 3 = 12\). Total \(6 \cdot 12 = 72\).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 48 é justamente o número de filas com as duas juntas (A); 120 ignora a restrição (D); 96 surge de esquecer o fator \(2!\) do bloco (\(120 - 24\)).