Resolução comentada
Ideia-chave: colocar o quadrado no plano cartesiano e calcular as tangentes pelas inclinações dos segmentos.
- Tome o lado do quadrado igual a 2: \(A=(0,0)\), \(B=(2,0)\), \(C=(2,2)\), \(D=(0,2)\) e \(M=(1,2)\).
- O ângulo \(\alpha\) está em \(M\), entre \(MC\) (horizontal) e \(MB\). De \(M\) até \(B\) descemos 2 e andamos 1 para a direita:
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{1} = 2.\]
- No triângulo formado por \(M\), \(C\) e o ponto de encontro \(P\) de \(MB\) com \(AC\), o ângulo em \(C\) vale \(45^\circ\) (diagonal do quadrado). O ângulo \(\theta\) (em \(P\)) é o terceiro ângulo:
\[\theta = 180^\circ - (\alpha + 45^\circ) \Rightarrow \operatorname{tg}\theta = -\operatorname{tg}(\alpha + 45^\circ).\]
- Pela fórmula da tangente da soma:
\[\operatorname{tg}(\alpha+45^\circ) = \frac{2 + 1}{1 - 2\cdot 1} = -3 \Rightarrow \operatorname{tg}\theta = 3.\]
- Logo \(\operatorname{tg}\theta + \operatorname{tg}\alpha = 3 + 2 = 5\).
Por que não as outras: esquecer o sinal na relação de ângulo suplementar leva a \(\operatorname{tg}\theta=-3\) e a um resultado absurdo; usar \(\operatorname{tg}\alpha = \frac12\) (cateto trocado) leva a valores errados.
Resposta: alternativa C.
