Resolução comentada
Ideia-chave: montar um triângulo retângulo com os centros de um círculo grande e do círculo pequeno e aplicar Pitágoras.
- Os dois círculos grandes são tangentes entre si e à reta; seus centros estão à altura \(R\) e distam \(2R\) na horizontal. O círculo pequeno fica no meio, com centro à altura \(r\), a uma distância horizontal \(R\) de cada centro grande.
- Como o pequeno é tangente ao grande, a distância entre os centros é \(R + r\). A diferença de alturas é \(R - r\).
- Pitágoras:
\[(R + r)^2 = R^2 + (R - r)^2.\]
- Desenvolvendo:
\[R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 + R^2 - 2Rr + r^2 \Rightarrow 4Rr = R^2.\]
- Dividindo por \(Rr\): \(\frac{R}{r} = 4\).
Por que não as outras: usar a distância horizontal \(2R\) (entre os centros grandes) no lugar de \(R\) leva a uma relação errada; esquecer que a vertical é \(R - r\) (e não \(R\)) também desvia o resultado.
Resposta: alternativa C.
