Questão 45 Unicamp 2021: Função exponencial e logaritmo

Resolução comentada

Ideia-chave: escrever a raiz como potência e aplicar logaritmo para isolar \(x\).

1. A raiz de índice 2021 é o expoente \(\frac{1}{2021}\): \[10^{\frac{3x+5}{2021}} = 20.\]
2. Aplicando \(\log_{10}\): \[\frac{3x+5}{2021} = \log 20 = 1 + \log 2.\]
3. Do dado \(0{,}3 < \log 2 < 0{,}31\): \[1{,}3 < \frac{3x+5}{2021} < 1{,}31 \Rightarrow 2627{,}3 < 3x + 5 < 2647{,}51.\]
4. Isolando \(x\): \[2622{,}3 < 3x < 2642{,}51 \Rightarrow 874{,}1 < x < 880{,}8.\]
5. Esse intervalo está contido em \(870 \le x < 885\).

Por que não as outras: usar \(\log 20 = 2\log 2\) (confundindo 20 com 4) ou esquecer o "+5" desloca o intervalo; esquecer o 1 de \(\log 10\) leva a valores perto de 200.

Resposta: alternativa B.