Unicamp 2023 · questão 71

Questão 71 Unicamp 2023: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, João decidiu comprar todas as cartelas em que a numeração exibisse os números 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, João comprou as cartelas 1205 e 0025, mas não comprou as cartelas 0514 e 2000.

Considere as afirmações:

I) João comprou 108 cartelas.

II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas.

III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3.

Assinale a alternativa correta:

A
Todas as afirmações são verdadeiras.
B
Apenas a afirmação I é verdadeira.
C
Apenas a afirmação II é verdadeira.
D
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

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Gabarito: Alternativa B: Apenas a afirmação I é verdadeira..

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Ideia-chave: só os números de 0001 a 1999 interessam (2000 não tem 5); fixe o primeiro dígito (0 ou 1) e conte os três últimos por complementar.

Afirmação I. Os três últimos dígitos (000 a 999) precisam conter 2 e 5. Por inclusão-exclusão: \[1000 - \underbrace{9^3}_{\text{sem }2} - \underbrace{9^3}_{\text{sem }5} + \underbrace{8^3}_{\text{sem ambos}} = 1000 - 729 - 729 + 512 = 54.\] Com primeiro dígito 0 ou 1: \(2 \cdot 54 = 108\). Verdadeira.
Afirmação II. Com 1 e 5: se o primeiro dígito é 1, basta haver um 5 nos três últimos: \(1000 - 729 = 271\). Se é 0, precisa de 1 e 5 nos três últimos: 54 (mesma conta acima). Total \(271 + 54 = 325 > 108\). Ele compraria mais. Falsa.
Afirmação III. Contendo 2, 5 e 3, os três últimos dígitos são uma permutação de 2, 3, 5: \(3! = 6\) casos, vezes 2 primeiros dígitos: 12 cartelas, não 18. Falsa.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: o erro típico em II é esquecer que o dígito 1 já aparece na casa do milhar, o que aumenta muito a contagem.

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