ENEM 2009 · questão 153

Questão 153 ENEM 2009: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Figura da questão

Imagine um plano paralelo à face \(\alpha\) do prisma I, mas que passe pelo ponto \(P\) pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém

  1. A
    Dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
  2. B
    Dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.
  3. C
    Dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
  4. D
    Dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.
  5. E
    Dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
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Gabarito: Alternativa A: Dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos..

Resolução comentada

Ideia-chave: um plano paralelo à base de um prisma reto corta o prisma num polígono congruente à base, com lados paralelos aos lados dela.

  1. A face \(\alpha\) é a base triangular do prisma I. Um plano paralelo a \(\alpha\) que atravessa o prisma I corta-o num triângulo congruente a \(\alpha\), com lados paralelos aos lados de \(\alpha\).
  2. Como o prisma I é perpendicular ao poliedro II, a face superior triangular de II é paralela a \(\alpha\). Logo, o plano que passa por \(P\) também é paralelo à face superior de II.
  3. As faces laterais de II são perpendiculares à sua face superior, então II se comporta como um prisma reto nessa direção: o corte paralelo à face superior é um triângulo congruente a ela, que por sua vez é congruente à base dos prismas.
  4. Assim, a interseção contém dois triângulos congruentes, ambos com lados paralelos aos de \(\alpha\) — portanto, com lados correspondentes paralelos.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: retângulos ou paralelogramos (B, D) apareceriam num corte perpendicular à base, ou seja, paralelo às arestas laterais dos prismas.

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