ENEM 2009 · questão 157

Questão 157 ENEM 2009: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Uma empresa que fabrica esferas de aço, de \(6\ \text{cm}\) de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de \(13\,824\ \text{cm}^3\), então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a

  1. A
    4.
  2. B
    8.
  3. C
    16.
  4. D
    24.
  5. E
    32.
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Gabarito: Alternativa B: 8..

Resolução comentada

Ideia-chave: achar a aresta do cubo pelo volume e ver quantos diâmetros de esfera cabem em cada direção.

  1. Aresta da caixa: \[ a^3 = 13\,824 \Rightarrow a = 24\ \text{cm} \quad (24^3 = 13\,824) \]
  2. Diâmetro de cada esfera: \[ D = 2 \cdot 6 = 12\ \text{cm} \]
  3. Em cada direção cabem \(\dfrac{24}{12} = 2\) esferas.
  4. Total: \[ 2 \times 2 \times 2 = 8 \text{ esferas} \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: dividir o volume da caixa pelo volume da esfera, \(\dfrac{13\,824}{\frac{4}{3}\pi \cdot 216} \approx 15{,}3\), sugere 16 (C), mas ignora os espaços vazios entre as esferas; usar o raio no lugar do diâmetro dá \(4^3 = 64\).

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