ENEM 2009 · questão 165

Questão 165 ENEM 2009: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

  1. A
    Uma combinação e um arranjo, respectivamente.
  2. B
    Um arranjo e uma combinação, respectivamente.
  3. C
    Um arranjo e uma permutação, respectivamente.
  4. D
    Duas combinações.
  5. E
    Dois arranjos.
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Gabarito: Alternativa A: Uma combinação e um arranjo, respectivamente..

Resolução comentada

Ideia-chave: quando a ordem não importa, usamos combinação; quando a ordem importa, usamos arranjo.

  1. Grupo A: escolher 4 dos 12 times. O grupo \(\{T_1, T_2, T_3, T_4\}\) é o mesmo em qualquer ordem, então a ordem não importa: \[ C_{12,4} = \binom{12}{4} = 495 \] É uma combinação.
  2. Jogo de abertura: escolher 2 dos 4 times do grupo, mas o primeiro joga em casa e o segundo é visitante. "A em casa contra B" é diferente de "B em casa contra A", então a ordem importa: \[ A_{4,2} = 4 \cdot 3 = 12 \] É um arranjo.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: D (duas combinações) ignora a diferença entre mandante e visitante; B inverte os conceitos. Não há permutação (C), pois não se ordenam todos os elementos do conjunto.

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