Questão 164 ENEM 2009: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: dividir o quarto de círculo em 3 partes iguais significa dividir o ângulo reto em 3 ângulos de \(30^\circ\); a parte de João é um triângulo retângulo.

1. As duas retas que partem do canto inferior esquerdo formam \(30^\circ\) e \(60^\circ\) com o lado de baixo. A parte de João fica entre o lado esquerdo (vertical, 2 km) e a reta de \(60^\circ\).
2. Essa reta encontra o lado de cima (altura 2 km) a uma distância horizontal \(x\) do lado esquerdo. O ângulo entre a reta e a vertical é \(30^\circ\), então: \[ x = 2 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 0{,}58 = 1{,}16\ \text{km} \]
3. Área de João (triângulo retângulo de catetos 2 e 1,16): \[ A_J = \frac{2 \cdot 1{,}16}{2} = 1{,}16\ \text{km}^2 \]
4. Área do terreno: \(3 \cdot 2 = 6\ \text{km}^2\). Porcentagem: \[ \frac{1{,}16}{6} \approx 0{,}193 \approx 19\% \]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: 33% (D) supõe que cada irmão recebe um terço do terreno inteiro, mas a divisão em partes iguais vale só para a área de extração.