ENEM 2010 · questão 168

Questão 168 ENEM 2010: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Figura da questão

Considere:

imagem (Foto: Reprodução/Enem)

Figura da questão

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

  1. A
    1,33
  2. B
    6,00
  3. C
    12,00
  4. D
    56,52
  5. E
    113,04
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Gabarito: Alternativa B: 6,00.

Resolução comentada

Ideia-chave: igualar o volume do hemisfério (metade da esfera) ao volume do cone de mesmo raio e isolar a altura.

  1. Hemisfério com \(R = 3\ \text{cm}\): \[V_h = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi\ \text{cm}^3.\]
  2. Cone com \(R = 3\ \text{cm}\) e altura \(h\): \(V_c = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot h = 3\pi h\).
  3. Igualando: \(3\pi h = 18\pi \Rightarrow h = 6\ \text{cm}\).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: usar a esfera inteira em vez da metade dá \(h = 12\) (C); D e E (56,52 e 113,04) são volumes calculados com \(\pi = 3{,}14\), e não a altura pedida.

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