ENEM 2010 · questão 173

Questão 173 ENEM 2010: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Figura da questão

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de

  1. A
    60 min.
  2. B
    90 min.
  3. C
    120 min.
  4. D
    180 min.
  5. E
    360 min.
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Gabarito: Alternativa B: 90 min..

Resolução comentada

Ideia-chave: contar as ordens possíveis de visita às 5 cidades (permutação), descontar os trajetos simétricos e multiplicar pelo tempo por sequência.

  1. Saindo de A e voltando a A, as cidades B, C, D, E e F podem ser visitadas em qualquer ordem: \(5! = 120\) sequências.
  2. Cada trajeto e seu inverso (como ABCDEFA e AFEDCBA) têm o mesmo custo; basta examinar metade: \(\dfrac{120}{2} = 60\) sequências.
  3. Tempo por sequência: \(1\ \text{min}\ 30\ \text{s} = 1{,}5\ \text{min}\).
  4. Tempo total: \[60 \cdot 1{,}5 = 90\ \text{min}.\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: não descontar as simétricas dá \(120 \cdot 1{,}5 = 180\) min (D); usar 1 min por sequência dá 60 min (A); descontar as simétricas mas dobrar o tempo leva a outros valores, como 360 min (E), sem justificativa.

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