ENEM 2012 · questão 144

Questão 144 ENEM 2012: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

  1. A
    10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  2. B
    20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  3. C
    119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  4. D
    260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  5. E
    270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
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Gabarito: Alternativa A: 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas..

Resolução comentada

Ideia-chave: pelo princípio fundamental da contagem, o número de respostas distintas é o produto das escolhas independentes.

  1. Cada resposta escolhe um objeto, um personagem e um cômodo: 5, 6 e 9 opções, respectivamente.
  2. Número de respostas distintas: \[5 \cdot 6 \cdot 9 = 270.\]
  3. Como as respostas não podem se repetir, depois de no máximo 270 alunos todas as possibilidades terão sido ditas, e uma delas é a correta.
  4. Há 280 alunos, então sobram \[280 - 270 = 10\] alunos a mais do que respostas possíveis, o que garante que alguém acerta.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: E (270) é o número de respostas, não a diferença; somar \(5 + 6 + 9 = 20\) em vez de multiplicar leva à alternativa D (260).

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