ENEM 2012 · questão 152

Questão 152 ENEM 2012: Geometria plana

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Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida \(R\) do raio adequado para a plataforma em termos da medida \(L\) do lado da base da estátua.

Qual relação entre \(R\) e \(L\) o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa A.

Resolução comentada

Ideia-chave: a base quadrada fica totalmente sobre a plataforma quando o círculo contém o quadrado; o caso limite é o quadrado inscrito, com diagonal igual ao diâmetro.

  1. Diagonal do quadrado de lado \(L\): \[d = L\sqrt{2}.\]
  2. Para o quadrado caber, o diâmetro deve ser pelo menos a diagonal: \[2R \ge L\sqrt{2}.\]
  3. Isolando \(R\): \[R \ge \frac{L\sqrt{2}}{2} = \frac{L}{\sqrt{2}}.\]
  4. Conferindo com \(L = 2\): \(R \ge \sqrt{2} \approx 1{,}41\), metade da diagonal \(2\sqrt{2}\). Um raio menor deixaria os cantos para fora.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: D (\(R \ge L/2\)) só garante o círculo inscrito no quadrado, deixando os vértices fora; C iguala as áreas, o que não basta.

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