Questão 141 ENEM 2013: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: os centros dos três canos menores formam um triângulo equilátero cujo circuncentro é o centro do cano maior.

1. Pela figura, o raio de cada cano menor é \(r = 30\) cm, e há uma folga de \(10\) cm entre os canos menores e o maior.
2. Os canos se tangenciam dois a dois, então a distância entre centros é \(2r = 60\) cm: o triângulo dos centros é equilátero de lado \(\ell = 60\).
3. A distância do centro do triângulo (centro do cano maior) a cada vértice é o raio circunscrito: \[d = \frac{\ell}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \approx 20 \cdot 1{,}7 = 34\ \text{cm}.\]
4. Indo do centro maior até a borda maior, passando por um centro menor: \[R = d + r + 10 = 34 + 30 + 10 = 74\ \text{cm}.\]

Por que não as outras: esquecer a folga dá \(64\) (A); usar a altura do triângulo (\(30\sqrt{3} \approx 51\)) no lugar de \(\frac{2}{3}\) dela leva a \(91\) (E).

Resposta: alternativa C.