Questão 179 ENEM 2013: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: semelhança de triângulos; a altura do ponto de cruzamento das diagonais vale \(\dfrac{ab}{a+b}\).

1. Sejam \(AC = 4\), \(BD = 6\), \(AB = d\) e \(AF = x\).
2. Triângulo \(ABD\) com \(EF \parallel BD\) (de \(A\) até \(F\)): \(\dfrac{EF}{6} = \dfrac{x}{d}\).
3. Triângulo \(BAC\) com \(EF \parallel AC\) (de \(B\) até \(F\)): \(\dfrac{EF}{4} = \dfrac{d-x}{d}\).
4. Somando: \(\dfrac{EF}{6} + \dfrac{EF}{4} = 1 \Rightarrow EF\cdot\dfrac{5}{12} = 1\). \[EF = \frac{12}{5} = 2{,}4\ \text{m}.\]
5. Equivale a \(EF = \dfrac{4\cdot 6}{4+6}\), independentemente da distância \(AB\).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: quem faz a diferença \(6-4\) marca 2 m (B); \(2\sqrt{6}\) (E) é a média geométrica de 4 e 6, e não a expressão obtida por semelhança.