ENEM 2016 · questão 168

Questão 168 ENEM 2016: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa E.

Resolução comentada

Ideia-chave: escolher as posições das letras, depois preencher cada posição pelo princípio multiplicativo.

  1. Posições: das 4 posições, escolhemos 2 para as letras (as outras 2 ficam para os algarismos): \[C_{4,2} = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = 6\]
  2. Letras: maiúscula e minúscula são diferentes, então há \(26 + 26 = 52\) opções para cada letra: \(52^2\).
  3. Algarismos: 10 opções para cada um (podem repetir): \(10^2\).
  4. Total: \[10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!}\]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: D usa 26 letras, ignorando a diferença entre maiúsculas e minúsculas; B esquece que letras e algarismos podem estar em qualquer posição (falta o fator \(C_{4,2}\)); C divide só por \(2!\), contando duas vezes cada arranjo.

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