ENEM 2016 · questão 166

Questão 166 ENEM 2016: Geometria plana

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Figura da questão

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para \(\pi\) e 1,4 como aproximação para \(\sqrt{2}\).

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de

  1. A
    1 260.
  2. B
    2 520.
  3. C
    2 800.
  4. D
    3 600.
  5. E
    4 000.
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Gabarito: Alternativa B: 2 520..

Resolução comentada

Ideia-chave: comparar o tempo dos dois trajetos possíveis de F a B — o segmento que passa por O e a semicircunferência de diâmetro FB.

  1. Comprimento do segmento FB (passa pela origem): \[FB = \sqrt{(1-(-1))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt2 \approx 2{,}8\ \text{km} = 2\,800\ \text{m}\] Tempo: \(2\,800 \cdot 1{,}0 = 2\,800\ \text{h}\).
  2. A semicircunferência tem centro O e raio \(r = \sqrt2 \approx 1{,}4\ \text{km}\). Comprimento: \[\pi r \approx 3 \cdot 1{,}4 = 4{,}2\ \text{km} = 4\,200\ \text{m}\] Tempo: \(4\,200 \cdot 0{,}6 = 2\,520\ \text{h}\).
  3. Embora o arco seja mais longo, sua construção por metro é mais rápida; o menor tempo é 2 520 h.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 2 800 (C) é o tempo do segmento reto, mais curto mas mais demorado de construir; 1 260 (A) usa o arco de um quarto de circunferência em vez da semicircunferência.

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