ENEM 2017 · questão 138

Questão 138 ENEM 2017: Trigonometria

Matemática › TrigonometriaVestibulares

Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo \(X\) com a sua superfície, conforme indica a figura.

Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por \(I(x) = k \cdot \operatorname{sen}(x)\)

sendo \(k\) uma constante, e supondo-se que \(X\) está entre \(0^\circ\) e \(90^\circ\).

Figura da questão

Quando \(x = 30^\circ\), a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?

  1. A
    33%
  2. B
    50%
  3. C
    57%
  4. D
    70%
  5. E
    86%
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Gabarito: Alternativa B: 50%.

Resolução comentada

Ideia-chave: a intensidade máxima ocorre quando \(\operatorname{sen} x\) é máximo; compare \(I(30^\circ)\) com esse máximo.

  1. Para \(0^\circ < x \le 90^\circ\), o maior valor de \(\operatorname{sen} x\) é 1 (em \(x = 90^\circ\)), logo \[I_{\text{máx}} = k \cdot 1 = k\]
  2. Em \(x = 30^\circ\): \[I(30^\circ) = k \cdot \operatorname{sen} 30^\circ = k \cdot \tfrac12 = 0{,}5\,k\]
  3. Razão: \[\frac{I(30^\circ)}{I_{\text{máx}}} = \frac{0{,}5\,k}{k} = 0{,}5 = 50\%\]
  4. A constante \(k\) se cancela: o resultado não depende dela, só do valor do seno. Ou seja, com o Sol a 30° a superfície recebe metade da intensidade que receberia com o Sol a pino.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 86% (E) vem de usar \(\cos 30^\circ \approx 0{,}86\) no lugar do seno; 33% (A) aparece ao fazer \(\tfrac{30^\circ}{90^\circ}\), como se a intensidade fosse proporcional ao ângulo.

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