ENEM 2017 · questão 140

Questão 140 ENEM 2017: Geometria plana

Matemática › Geometria planaVestibulares

Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio \(4\ \text{cm}\) e \(5\ \text{cm}\), respectivamente.

Figura da questão

A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a

  1. A
    192.
  2. B
    300.
  3. C
    304.
  4. D
    320.
  5. E
    400.
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Gabarito: Alternativa C: 304..

Resolução comentada

Ideia-chave: o comprimento é limitado pelas bordas (raio 5), que não podem se sobrepor; a largura, pelas bases (raio 4), que precisam ficar apoiadas.

  1. Bordas de raio 5 cm, em fileira, encostadas: centros a \(2 \cdot 5 = 10\ \text{cm}\) um do outro.
  2. Distância entre o primeiro e o último centro: \(3 \cdot 10 = 30\ \text{cm}\).
  3. As bases das taças das pontas precisam caber na bandeja: soma-se o raio da base (4 cm) em cada extremo: \[\text{comprimento} = 4 + 30 + 4 = 38\ \text{cm}\]
  4. Largura: basta caber o diâmetro da base: \(2 \cdot 4 = 8\ \text{cm}\) (a borda pode sobrar para fora).
  5. Área mínima: \[38 \cdot 8 = 304\ \text{cm}^2\]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: 320 (D) usa as bordas inteiras no comprimento (\(40 \times 8\)); 400 (E) usa só as bordas (\(40 \times 10\)).

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