ENEM 2017 · questão 143

Questão 143 ENEM 2017: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Figura da questão

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

  1. A
    \(C_{6,4}\)
  2. B
    \(C_{9,3}\)
  3. C
    \(C_{10,4}\)
  4. D
    \(6^{4}\)
  5. E
    \(4^{6}\)
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Gabarito: Alternativa B: \(C_{9,3}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: como a posição não importa, um modelo é definido só por quantos carrinhos há de cada cor — é uma combinação com repetição.

  1. Sejam \(a, b, l, v\) as quantidades de carrinhos amarelos, brancos, laranjas e verdes: \[a + b + l + v = 10,\quad a, b, l, v \ge 1\]
  2. Garantindo um de cada cor, restam \(10 - 4 = 6\) carrinhos para distribuir livremente: \[a' + b' + l' + v' = 6,\quad a', b', l', v' \ge 0\]
  3. Número de soluções inteiras não negativas (6 "bolinhas" e 3 "barras"): \[\binom{6 + 3}{3} = C_{9,3}\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(4^6\) (E) trata os 6 carrinhos restantes como distinguíveis (ordem importando), o que o enunciado descarta; \(C_{10,4}\) (C) escolhe 4 carrinhos entre 10, sem relação com a distribuição de cores.

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