ENEM 2017 · questão 160

Questão 160 ENEM 2017: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.

Figura da questão

De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?

  1. A
    15
  2. B
    30
  3. C
    108
  4. D
    360
  5. E
    972
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa E: 972.

Resolução comentada

Ideia-chave: princípio multiplicativo: pinta-se uma região por vez, e cada nova região não pode repetir a cor da vizinha já pintada.

  1. Pela figura, a logomarca tem 6 regiões, que podem ser pintadas em sequência de modo que cada nova região faça fronteira com apenas uma região já pintada.
  2. Primeira região: 4 cores possíveis.
  3. Cada uma das outras 5 regiões: 3 cores possíveis (qualquer uma menos a da vizinha já pintada).
  4. Total: \[ 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972 \]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: 108 \((4 \cdot 3^3)\) conta só quatro regiões após a primeira, e 360 vem de tratar o problema como arranjo sem repetição de cores, o que não é exigido: regiões não vizinhas podem ter a mesma cor.

Mais questões de Análise combinatória

Ver todas as questões de Análise combinatória