ENEM 2017 · questão 161

Questão 161 ENEM 2017: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Figura da questão

Quais devem ser os valores de \(X\) e de \(Y\), em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

  1. A
    1 e 49
  2. B
    1 e 99
  3. C
    10 e 10
  4. D
    25 E 25
  5. E
    50 E 50
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Gabarito: Alternativa D: 25 E 25.

Resolução comentada

Ideia-chave: a tela cobre só as laterais, então o perímetro da base é fixo (100 m); com perímetro fixo, o retângulo de maior área é o quadrado.

  1. Perímetro da base: \[ 2X + 2Y = 100 \Rightarrow X + Y = 50 \Rightarrow Y = 50 - X \]
  2. Área da base em função de \(X\): \[ A(X) = X(50 - X) = -X^2 + 50X \]
  3. É uma parábola com concavidade para baixo; o máximo ocorre no vértice: \[ X_v = \frac{-50}{2 \cdot (-1)} = 25 \]
  4. Então \(Y = 50 - 25 = 25\), com área máxima \(625\ \text{m}^2\).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: 50 e 50 (E) usa \(X + Y = 100\), esquecendo que cada medida aparece duas vezes no perímetro; 1 e 49 (A) satisfaz o perímetro, mas dá área de apenas 49 m².

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