ENEM 2017 · questão 162

Questão 162 ENEM 2017: Geometria analítica

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O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade \(V\) de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação \((p + a)(v + b) = K\), com \(a\), \(b\) e \(K\) constantes.

Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:

TIPO DE CURVA

Semirreta oblíqua

Semirreta horizontal

Ramo de parábola

Arco de circunferência

Ramo de hipérbola

O fisioterapeuta analisou a dependência entre \(v\) e \(p\) na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas \((p, V)\). Admita que \(K > 0\).

Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14 jul. 2015 (adaptado).

O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo

  1. A
    Semirreta oblíqua.
  2. B
    Semirreta horizontal.
  3. C
    Ramo de parábola.
  4. D
    Arco de circunferência.
  5. E
    Ramo de hipérbole.
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Gabarito: Alternativa E: Ramo de hipérbole..

Resolução comentada

Ideia-chave: um produto constante entre duas grandezas deslocadas, \((p+a)(v+b) = K\), é a equação de uma hipérbole com assíntotas paralelas aos eixos.

  1. Isolando \(v\): \[ v + b = \frac{K}{p + a} \Rightarrow v = \frac{K}{p + a} - b \]
  2. Essa é a função \(y = \dfrac{K}{x}\) (proporcionalidade inversa, cujo gráfico é uma hipérbole equilátera) deslocada \(a\) unidades na horizontal e \(b\) na vertical.
  3. As assíntotas são as retas \(p = -a\) e \(v = -b\).
  4. Como \(K > 0\) e, na situação física, \(p\) e \(v\) são não negativos, só aparece uma parte da curva: um ramo de hipérbole.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: não há termo de segundo grau isolado em \(p\) (parábola) nem soma de quadrados (circunferência); e \(v\) varia com \(p\), o que descarta as semirretas.

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